\ast es una operacion binaria cerrada en AA sii: x,yA:xyA\forall x,y\in A: x\ast y\in A

Sea un conjunto A:A×AAA\neq \varnothing\\\ast:A\times A\to A es operacion cerrada en A \lrArr\ast es funcion.

Tambie se llama ley de cierre o lci

Propiedades y elementos notables de una OP cerrada

Sea AA\neq \varnothing y * es una operacion cerrada definida en AA

Asociatividad: a,b,cA:(ab)c=a(bc)\forall a,b,c\in A: (a*b)*c = a*(b*c)

Conmutativa:

a,bA:ab=ba\forall a,b\in A: a*b=b*a

matricialmente la matriz debe ser simetrica

Elemento neutro:

eA:aA:ea=ae=a\exist e\in A: \forall a\in A: e*a = a*e = a

matricialmente tiene que aparecer el numero correspondiente a la columna o a la fila en toda dicha col o fila. Respeta al otro numero

Elemento simetrico:

aA/aa=aa=ea\prime\in A/ a*a\prime=a\prime*a= e

Elementos Idempotentes:

aa=aa*a=a

matricialmente la diagonal principal tiene que corresponder con la col o fila

Absorvente:

aA:ba=ab=b\forall a\in A: b*a=a*b=b

impone su valor operado con cualquiera

Operaciones combinada

Se tiene que verificar si:

el neutro siempre es idempotente

Sea AA\neq \varnothing y * es una operacion binaria definida en AA:

  1. Si * es op. cerrada (A;)\rArr (A;*) es Grupoide
  2. Si ademas * es asociativa (A;)\rArr (A;*) es Semigrupo
  3. Si ademas * tiene neutro (A;)\rArr (A;*) es Monoide
  4. Si ademas * tiene simetrico (A;)\rArr (A;*) es Grupo
  1. el elemento neutro es unico
  2. el eutro es su propio simetrico e=ee = e\prime
  3. propiedad involutiva del simetrico aA:(a)=a\forall a\in A: (a\prime)^\prime= a
  4. el simetrico de un elemetno es unico
  5. a,bA:(ab)=ab\forall a,b\in A: (a*b)^\prime= a^\prime*b^\prime
  6. las ecuaciones lineales tienen solucion unica
  7. el unico elementoidempotente es el elemento neutro
  8. a,b,A:a=bb=a\forall a,b,\in A: a^\prime=b \rArr b^\prime=a

Elementos Regulares

Sea (A;)(A;*) un semigrupo con neutro.

aA es regular a izquierdaax=ay=x=ya\in A\text{ es regular a izquierda} \lrArr a*x = a*y = x=y

aA es regular a derechaxa=ya=x=ya\in A\text{ es regular a derecha} \lrArr x*a = y*a = x=y

El elemento aAa\in A es regular si es regular a izquierda y a derecha

Sea (A;)(A;*) un semigrupo con neutro. El conjunto de inversibles de AA es:

INV(A)={aA/aA}\text{INV}(A) = \{a\in A / a'\in A\}

Sean (G1;1)(G_1;*_1) y (G2;2)(G_2;*_2) dos grupos con neutros e1e_1 y e2e_2 respectivamente:

El conjunto G1×G2G_1\times G_2 se define de la siguiente operacion * tal que:

(a;b)(c;d)=(a1c;b2d)(a;b) * (c;d) = (a*_1 c; b*_2 d)

(G1×G2;)(G_1\times G_2;*) es grupo y se denomina GRUPO PRODUCTO

Sea (G;)(G;*) un grupo y sea H    HGH\neq\varnothing\;\; H\subseteq G

Si (H;)(H;*) es grupo entonces HH es subgrupo de GG

Subgrupos espaciales

({e};)(\{e\};*) es subgrupo trivial de (G;)(G;*)

(G;)(G;*) es subgrupo impropio de (G;)(G;*)

Teorema de condicion necesaria y suficiente de subgrupos

Sea (G;)(G;*) un grupo. H es subgrupo de G si: HH\neq \varnothing, HGH\sube G, a,bHabH\forall a,b\in H\rArr a*b'\in H

Si (G;)(G;*) es un grupo y HH es un subconjunto finito no vacio, entonces HH es subgrupo de GG sii * es cerrada en HH

Generadores. Grupos Ciclicos

Sea (G;)(G;*) un grupo y aGa\in G. Llamamos Subgrupo ciclico de G generado por a al siguiente conjunto: < ⁣a ⁣>={an/nZ}<\!a\!> = \{a^n/n\in \Z\}

Un grupo (G;)(G;*) es ciclico aG\lrArr \exist a \in G tal que < ⁣a ⁣>=G<\!a\!> = G

  1. Todo grupo ciclico es abeliano
  2. Todo subgrupo de un grupo ciclico es ciclico

Sea (G;)(G;*) un grupo y aGa\in G

El orden de un elemento es el cardinal del subgrupo que genera.

El orden de un subgrupo es el orden de su generador, o bien el cardinal del subgrupo

Dado un grupo (G;)(G;*) con neutro ee, entonces el conjunto de todos los subgrupos puede ser ordenado por la inclusion.

Si GG es finito, entonces: (subgrupos de G;G;\sube\,) es una Red con primer elemento, el subgrupo trivial, y ultimo elemento, el subgrupo impropio.

Propiedades de los grupos (Zn;+)(Z_n;+)

Relaciones de Congruencia

Sea (G;)(G;*) un semigrupo con neutro ee

Sea \sim una relacion de equivalencia en GG.

 es compatible a izquierda con a,b,xG:abxaxb\sim\text{ es compatible a izquierda con }*\lrArr \forall a,b,x\in G: a\sim b\rArr x*a\sim x*b

 es compatible a derecha con a,b,xG:abaxbx\sim\text{ es compatible a derecha con }*\lrArr \forall a,b,x\in G: a\sim b\rArr a*x\sim b*x

La relacion \sim es compatible con * (o es de congruencia) \lrArr es compatible a derecha y a izquierda.

Las relaciones de congruencia generalizan las propiedades de la congruencia modulo nn y pueden recibir otros nombres como "compatible" respecto de la operacion de grupo o "estable"

\sim es compatible con a,b,c,dG:abcdacbd* \lrArr \forall a,b,c,d\in G:a\sim b\land c\sim d\rArr a*c\sim b*d

Teorema Fundamental de Compatiblidad

Sea (G;)(G;*) un semigrupo con neutro ee y \sim una relacion de equivalencia compatible con * Entonces el conjunto cociente (G/;ˉ)(G/\sim;\bar*) es un semigrupo con neutro, siendo la ˉ\bar* la siguiente aˉˉbˉ=ab\bar a \bar* \bar b=\overline{a*b}

Si (G;)(G;*) es grupo entonces (G/;ˉ)(G/\sim\,;\bar*) tambien es grupo.

Si (G;)(G;*) es abeliano entonces (G/;ˉ)(G/\sim\,;\bar*) tambien es abeliano.

El teorema garantiza que si la relacion de equivalencia es cmpatible, la estructura del conjunto cociente es la misma que la del conjunto original. O sea, se "traspasa" la estructura y las propiedades estructurales.

Congruencia Modulo un Subgrupo

Sea (G;)(G;*) un grupo y HH un subgrupo de GG

Definimos la siguiente relacionen GG:adb(H)abH\quad a\equiv_d b(H)\lrArr a*b'\in H

se lee: aa es congruente a derecha con bb modulo HH

Demostraciones

  1. Reflexiva:

    aa=eeHada(H)a*a'=e\land e\in H \rArr a\equiv_d a(H)

  2. Simetrica:

    adb(H)abH(ab)HbaHbda(H)a\equiv_d b(H)\lrArr a*b'\in H\lrArr (a*b')'\in H\lrArr b*a'\in H\lrArr b\equiv_d a(H)

  3. Transitiva:

    ab(H)bc(H)abHbcH(ab)(bc)Ha(bb)cHaecHacHadc(H)a\equiv_b(H)\land b\equiv_c(H)\lrArr a*b'\in H\land b*c'\in H\lrArr\lrArr(a*b')*(b*c')\in H\lrArr a*(b*b')*c'\in H\lrArr\lrArr a*e*c'\in H\lrArr a*c'\in H\lrArr a\equiv_d c(H)

Por lo tanto es una relacion de equivalencia

Sea (G;)(G;*) un grupo y HH un subgrupo de GG

Definimos la siguiente relacionen GG:aib(H)abH\quad a\equiv_i b(H)\lrArr a'*b\in H

se lee: aa es congruente a izquierda con bb modulo HH

Propiedades:

  1. La congruencia modulo HH, tanto a derecha como izquierda, es una relacion de equivalencia.

  2. Si (G;)(G;*) es un grupo abeliano, entonces la congruencia a derecha coincide con la congruencia a izquierda.

  3. Es un caso particular de la congruencia modulo HH, considerando H=nZ={xZ/x=nk,kZ}H=n\Z=\{x\in\Z/x=nk,k\in\Z\}

    ab(H)abHa+(b)Hab=nknabab(n)a\equiv b(H)\lrArr a*b'\in H\lrArr a+(-b)\in H\lrArr a-b =nk\lrArr n|a-b\lrArr a\equiv b(n)

  4. La clase de equivalencia de cualquier elemento de aa de GG es:

    ad=Ha en la relacion de congruencia a derecha\overline{a_d} = H*a\text{ en la relacion de congruencia a derecha}

    ai=aH en la relacion de congruencia a izquierda\overline{a_i} = a*H\text{ en la relacion de congruencia a izquierda}

  5. H=Ha=aH|H| = |H*a| = |a*H|

  6. La relacion de congruencia modulo HH (tanto a derecha como a izquierda) por ser de equivalencia, produce una particion en el conjunto.

Indice de un subgrupo

Sea (G;)(G;*) un grupo y HH un subgrupo de GG

El indice de GG en GG es la cantidad de clases de equivalencia modulo HH.

Se indica [G:H][G:H]

Teorema de Lagrange

Sea (G;)(G;*) un grupo de orden finito nn y HH un subgrupo de GG

Entonces, el orden de GG divide al orden de GG

(orden es cantidad de elementos)

Subgrupo Normal

Sea (G;)(G;*) un grupo con neutro ee y HH un subgrupo de GG

HH es un subgrupo normal \lrArr las clases a derecha coinciden con las clases a izquierda

Teorema: Grupo Cociente o Grupo Factor

Sea (G;)(G;*) un grupo y HH un subgrupo normal de GG

Homomorfismos de Grupos

(G1;1)(G_1;*_1) y (G2;2)(G_2;*_2) dos grupos con neutros e1e_1 y e2e_2 respectivamente:

f:G1G2 es homomorfismo{f esfunciona,bG1:f(a1b)=f(a)2f(b)f:G_1\to G_2\textbf{ es homomorfismo}\lrArr\begin{cases} f\text{ esfuncion}\\ \forall a,b\in G_1:f(a*_1b) = f(a)*_2f(b) \end{cases}

Propiedades de los Homomorfismos:

Sea f:(G1;1)(G2;2)f:(G_1;*_1)\to (G_2;*_2) un homomorfismo de grupos

  1. f(e1)=e2f(e_1) = e_2
  2. aG1:f(a)=[f(a)]\forall a\in G_1: f(a') = [f(a)]'

Clasificacion de Homomorfismo

Sea f:G1G2f:G_1\to G_2 un homomorfismo de grupos:

Nucleo de un homomorfismo

Sea f:G1G2f:G_1\to G_2 un homomorfismo de grupos.

Se define: Nu(f)={xG1/f(x)=e2}\text{Nu}(f) = \{x\in G_1 / f(x)= e_2\}

Propiedades del Nucleo

Sea f:(G1;1)(G1;1)f:(G_1;*_1)\to(G_1;*_1) un homomorfismo de grupos. Entonces:

(Nu(f);1) es subgrupo de (G1;1)(\text{Nu}(f);*_1)\text{ es subgrupo de }(G_1; *_1)

Sea f:(G1;1)(G1;1)f:(G_1;*_1)\to(G_1;*_1) un homomorfismo de grupos. Entonces:

Nu(f)={e1}f es inyectiva\text{Nu}(f)=\{e_1\}\lrArr f \text{ es inyectiva}

Imagen de un homomorfismo

Sea f:(G1;1)(G1;1)f:(G_1;*_1)\to(G_1;*_1) un homomorfismo de grupos.

Se define: Im(f)={yG2/xG1f(x)=y}\text{Im}(f) = \{y\in G_2/\exist x\in G_1\land f(x)=y\}

(Im(f);2) es subgrupo de (G2;2)(\text{Im}(f);*_2) \text{ es subgrupo de } (G_2;*_2)

Preimagen o Imagen Reciproca

Sea f:G1G2f:G_1\to G_2 un homomorfismo de grupos, BG2B\sube G_2

f1(B)={xG1/f(x)B}f^{-1}(B)=\{x\in G_1/f(x)\in B\}