$\ast$ es una operacion binaria cerrada en $A$ sii: $\forall x,y\in A: x\ast y\in A$

Sea un conjunto $A\neq \varnothing\\\ast:A\times A\to A$ es operacion cerrada en A $\lrArr\ast$ es funcion.

Tambie se llama ley de cierre o lci

Propiedades y elementos notables de una OP cerrada

Sea $A\neq \varnothing$ y $*$ es una operacion cerrada definida en $A$

Asociatividad: $\forall a,b,c\in A: (a*b)*c = a*(b*c)$

Conmutativa:

$\forall a,b\in A: a*b=b*a$

matricialmente la matriz debe ser simetrica

Elemento neutro:

$\exist e\in A: \forall a\in A: e*a = a*e = a$

matricialmente tiene que aparecer el numero correspondiente a la columna o a la fila en toda dicha col o fila. Respeta al otro numero

Elemento simetrico:

$a\prime\in A/ a*a\prime=a\prime*a= e$

Elementos Idempotentes:

$a*a=a$

matricialmente la diagonal principal tiene que corresponder con la col o fila

Absorvente:

$\forall a\in A: b*a=a*b=b$

impone su valor operado con cualquiera

Operaciones combinada

Se tiene que verificar si:

• es cerada
• es asociativa
• conmutativa
• tiene neutro, despejar el neutro
• tiene simetrico, despejar absovente, puede quedar un elemento simetrico que dependa de otro
• idempotente.
• tiene absorvente

el neutro siempre es idempotente

Sea $A\neq \varnothing$ y $*$ es una operacion binaria definida en $A$:

1. Si $*$ es op. cerrada $\rArr (A;*)$ es Grupoide
2. Si ademas $*$ es asociativa $\rArr (A;*)$ es Semigrupo
3. Si ademas $*$ tiene neutro $\rArr (A;*)$ es Monoide
4. Si ademas $*$ tiene simetrico $\rArr (A;*)$ es Grupo

• Si ademas $*$ es conmutativa se le agraga el calificativo Abeliano

1. el elemento neutro es unico
2. el eutro es su propio simetrico $e = e\prime$
3. propiedad involutiva del simetrico $\forall a\in A: (a\prime)^\prime= a$
4. el simetrico de un elemetno es unico
5. $\forall a,b\in A: (a*b)^\prime= a^\prime*b^\prime$
6. las ecuaciones lineales tienen solucion unica
7. el unico elementoidempotente es el elemento neutro
8. $\forall a,b,\in A: a^\prime=b \rArr b^\prime=a$

Elementos Regulares

Sea $(A;*)$ un semigrupo con neutro.

$a\in A\text{ es regular a izquierda} \lrArr a*x = a*y = x=y$

$a\in A\text{ es regular a derecha} \lrArr x*a = y*a = x=y$

El elemento $a\in A$ es regular si es regular a izquierda y a derecha

Sea $(A;*)$ un semigrupo con neutro. El conjunto de inversibles de $A$ es:

$\text{INV}(A) = \{a\in A / a'\in A\}$

Sean $(G_1;*_1)$ y $(G_2;*_2)$ dos grupos con neutros $e_1$ y $e_2$ respectivamente:

El conjunto $G_1\times G_2$ se define de la siguiente operacion $*$ tal que:

$$(a;b) * (c;d) = (a*_1 c; b*_2 d)$$

$(G_1\times G_2;*)$ es grupo y se denomina GRUPO PRODUCTO

• Si $*_1$ y $*_2$ son conmutativas entonces $*$ tambien es conmutativa

Sea $(G;*)$ un grupo y sea $H\neq\varnothing\;\; H\subseteq G$

Si $(H;*)$ es grupo entonces $H$ es subgrupo de $G$

Subgrupos espaciales

$(\{e\};*)$ es subgrupo trivial de $(G;*)$

$(G;*)$ es subgrupo impropio de $(G;*)$

• el resto de subgrupos se denomina subfgupos propios

Teorema de condicion necesaria y suficiente de subgrupos

Sea $(G;*)$ un grupo. H es subgrupo de G si: $H\neq \varnothing$, $H\sube G$, $\forall a,b\in H\rArr a*b'\in H$

Si $(G;*)$ es un grupo y $H$ es un subconjunto finito no vacio, entonces $H$ es subgrupo de $G$ sii $*$ es cerrada en $H$

Generadores. Grupos Ciclicos

Sea $(G;*)$ un grupo y $a\in G$. Llamamos Subgrupo ciclico de G generado por a al siguiente conjunto: $<\!a\!> = \{a^n/n\in \Z\}$

Un grupo $(G;*)$ es ciclico $\lrArr \exist a \in G$ tal que $<\!a\!> = G$

1. Todo grupo ciclico es abeliano
2. Todo subgrupo de un grupo ciclico es ciclico

Sea $(G;*)$ un grupo y $a\in G$

El orden de un elemento es el cardinal del subgrupo que genera.

El orden de un subgrupo es el orden de su generador, o bien el cardinal del subgrupo

Dado un grupo $(G;*)$ con neutro $e$, entonces el conjunto de todos los subgrupos puede ser ordenado por la inclusion.

Si $G$ es finito, entonces: (subgrupos de $G;\sube\,$) es una Red con primer elemento, el subgrupo trivial, y ultimo elemento, el subgrupo impropio.

Propiedades de los grupos $(Z_n;+)$

• Todos los grupos $(Z_n;+)$ son ciclicos.
• Sus generadores son: $\overline{k}/\text{mcd}(k,n)=1, 1\leq k\leq n-1$
• La cantidad de subgrupos de $\Z_n$ es: $|D_n|$
• Cada subgrupo tiene por cardinal a uno de los elementos de $D_n$
• La red de subgrupos es isomorfa a $(D_n;|\,)$

Relaciones de Congruencia

Sea $(G;*)$ un semigrupo con neutro $e$

Sea $\sim$ una relacion de equivalencia en $G$.

$$\sim\text{ es compatible a izquierda con }*\lrArr \forall a,b,x\in G: a\sim b\rArr x*a\sim x*b$$

$$\sim\text{ es compatible a derecha con }*\lrArr \forall a,b,x\in G: a\sim b\rArr a*x\sim b*x$$

La relacion $\sim$ es compatible con $*$ (o es de congruencia) $\lrArr$ es compatible a derecha y a izquierda.

Las relaciones de congruencia generalizan las propiedades de la congruencia modulo $n$ y pueden recibir otros nombres como "compatible" respecto de la operacion de grupo o "estable"

$\sim$ es compatible con $* \lrArr \forall a,b,c,d\in G:a\sim b\land c\sim d\rArr a*c\sim b*d$

Teorema Fundamental de Compatiblidad

Sea $(G;*)$ un semigrupo con neutro $e$ y $\sim$ una relacion de equivalencia compatible con $*$ Entonces el conjunto cociente $(G/\sim;\bar*)$ es un semigrupo con neutro, siendo la $\bar*$ la siguiente $\bar a \bar* \bar b=\overline{a*b}$

Si $(G;*)$ es grupo entonces $(G/\sim\,;\bar*)$ tambien es grupo.

Si $(G;*)$ es abeliano entonces $(G/\sim\,;\bar*)$ tambien es abeliano.

El teorema garantiza que si la relacion de equivalencia es cmpatible, la estructura del conjunto cociente es la misma que la del conjunto original. O sea, se "traspasa" la estructura y las propiedades estructurales.

Congruencia Modulo un Subgrupo

Sea $(G;*)$ un grupo y $H$ un subgrupo de $G$

Definimos la siguiente relacionen $G$:$\quad a\equiv_d b(H)\lrArr a*b'\in H$

se lee: $a$ es congruente a derecha con $b$ modulo $H$

Demostraciones

1. Reflexiva:

   $a*a'=e\land e\in H \rArr a\equiv_d a(H)$

2. Simetrica:

   $a\equiv_d b(H)\lrArr a*b'\in H\lrArr (a*b')'\in H\lrArr b*a'\in H\lrArr b\equiv_d a(H)$

3. Transitiva:

   $a\equiv_b(H)\land b\equiv_c(H)\lrArr a*b'\in H\land b*c'\in H\lrArr\lrArr(a*b')*(b*c')\in H\lrArr a*(b*b')*c'\in H\lrArr\lrArr a*e*c'\in H\lrArr a*c'\in H\lrArr a\equiv_d c(H)$

Por lo tanto es una relacion de equivalencia

Sea $(G;*)$ un grupo y $H$ un subgrupo de $G$

Definimos la siguiente relacionen $G$:$\quad a\equiv_i b(H)\lrArr a'*b\in H$

se lee: $a$ es congruente a izquierda con $b$ modulo $H$

Propiedades:

1. La congruencia modulo $H$, tanto a derecha como izquierda, es una relacion de equivalencia.

2. Si $(G;*)$ es un grupo abeliano, entonces la congruencia a derecha coincide con la congruencia a izquierda.

3. Es un caso particular de la congruencia modulo $H$, considerando $H=n\Z=\{x\in\Z/x=nk,k\in\Z\}$

   $$a\equiv b(H)\lrArr a*b'\in H\lrArr a+(-b)\in H\lrArr a-b =nk\lrArr n|a-b\lrArr a\equiv b(n)$$

4. La clase de equivalencia de cualquier elemento de $a$ de $G$ es:

   $$\overline{a_d} = H*a\text{ en la relacion de congruencia a derecha}$$

   $$\overline{a_i} = a*H\text{ en la relacion de congruencia a izquierda}$$

5. $|H| = |H*a| = |a*H|$

6. La relacion de congruencia modulo $H$ (tanto a derecha como a izquierda) por ser de equivalencia, produce una particion en el conjunto.

Indice de un subgrupo

Sea $(G;*)$ un grupo y $H$ un subgrupo de $G$

El indice de $G$ en $G$ es la cantidad de clases de equivalencia modulo $H$.

Se indica $[G:H]$

Teorema de Lagrange

Sea $(G;*)$ un grupo de orden finito $n$ y $H$ un subgrupo de $G$

Entonces, el orden de $G$ divide al orden de $G$

(orden es cantidad de elementos)

Subgrupo Normal

Sea $(G;*)$ un grupo con neutro $e$ y $H$ un subgrupo de $G$

$H$ es un subgrupo normal $\lrArr$ las clases a derecha coinciden con las clases a izquierda

Teorema: Grupo Cociente o Grupo Factor

Sea $(G;*)$ un grupo y $H$ un subgrupo normal de $G$

• $(G/H,\bar * )$ es grupo siendo $\bar a\bar *\bar b=\overline{a*b}$
• El cardinal de $G/H$ es $[G:H]$

• Este grupo se llama grupo cociente de $G$ modulo $H$

Homomorfismos de Grupos

$(G_1;*_1)$ y $(G_2;*_2)$ dos grupos con neutros $e_1$ y $e_2$ respectivamente:

$$f:G_1\to G_2\textbf{ es homomorfismo}\lrArr\begin{cases} f\text{ esfuncion}\\ \forall a,b\in G_1:f(a*_1b) = f(a)*_2f(b) \end{cases}$$

Propiedades de los Homomorfismos:

Sea $f:(G_1;*_1)\to (G_2;*_2)$ un homomorfismo de grupos

1. $f(e_1) = e_2$
2. $\forall a\in G_1: f(a') = [f(a)]'$

Clasificacion de Homomorfismo

Sea $f:G_1\to G_2$ un homomorfismo de grupos:

• Si $f$ es inyectiva, $f$ se llama monomorfismo
• Si $f$ es sibreyectiva, $f$ se llama epimorfismo
• Si $f$ es biyectiva, $f$ se llama isomorfismo
• Si $G_1 = G_2$, $f$ se llama endomorfismo
• Si $G_1 = G_2$ y $f$ es biyectiva, $f$ se llama automorfismo

Nucleo de un homomorfismo

Sea $f:G_1\to G_2$ un homomorfismo de grupos.

Se define: $\text{Nu}(f) = \{x\in G_1 / f(x)= e_2\}$

Propiedades del Nucleo

Sea $f:(G_1;*_1)\to(G_1;*_1)$ un homomorfismo de grupos. Entonces:

$$(\text{Nu}(f);*_1)\text{ es subgrupo de }(G_1; *_1)$$

Sea $f:(G_1;*_1)\to(G_1;*_1)$ un homomorfismo de grupos. Entonces:

$$\text{Nu}(f)=\{e_1\}\lrArr f \text{ es inyectiva}$$

Imagen de un homomorfismo

Sea $f:(G_1;*_1)\to(G_1;*_1)$ un homomorfismo de grupos.

Se define: $\text{Im}(f) = \{y\in G_2/\exist x\in G_1\land f(x)=y\}$

$$(\text{Im}(f);*_2) \text{ es subgrupo de } (G_2;*_2)$$

Preimagen o Imagen Reciproca

Sea $f:G_1\to G_2$ un homomorfismo de grupos, $B\sube G_2$

$$f^{-1}(B)=\{x\in G_1/f(x)\in B\}$$