∗ es una operacion binaria cerrada en A sii: ∀x,y∈A:x∗y∈A
Sea un conjunto A=∅∗:A×A→A es operacion cerrada en A ⇔∗ es funcion.
Tambie se llama ley de cierre o lci
Propiedades y elementos notables de una OP cerrada
Sea A=∅ y ∗ es una operacion cerrada definida en A
Asociatividad:
∀a,b,c∈A:(a∗b)∗c=a∗(b∗c)
Conmutativa:
∀a,b∈A:a∗b=b∗a
matricialmente la matriz debe ser simetrica
Elemento neutro:
∃e∈A:∀a∈A:e∗a=a∗e=a
matricialmente tiene que aparecer el numero correspondiente a la columna o a la fila en toda dicha col o fila. Respeta al otro numero
Elemento simetrico:
a′∈A/a∗a′=a′∗a=e
Elementos Idempotentes:
a∗a=a
matricialmente la diagonal principal tiene que corresponder con la col o fila
Absorvente:
∀a∈A:b∗a=a∗b=b
impone su valor operado con cualquiera
Operaciones combinada
Se tiene que verificar si:
- es cerada
- es asociativa
- conmutativa
- tiene neutro, despejar el neutro
- tiene simetrico, despejar absovente, puede quedar un elemento simetrico que dependa de otro
- idempotente.
- tiene absorvente
el neutro siempre es idempotente
Sea A=∅ y ∗ es una operacion binaria definida en A:
- Si ∗ es op. cerrada ⇒(A;∗) es Grupoide
- Si ademas ∗ es asociativa ⇒(A;∗) es Semigrupo
- Si ademas ∗ tiene neutro ⇒(A;∗) es Monoide
- Si ademas ∗ tiene simetrico ⇒(A;∗) es Grupo
- Si ademas ∗ es conmutativa se le agraga el calificativo Abeliano
- el elemento neutro es unico
- el eutro es su propio simetrico e=e′
- propiedad involutiva del simetrico ∀a∈A:(a′)′=a
- el simetrico de un elemetno es unico
- ∀a,b∈A:(a∗b)′=a′∗b′
- las ecuaciones lineales tienen solucion unica
- el unico elementoidempotente es el elemento neutro
- ∀a,b,∈A:a′=b⇒b′=a
Elementos Regulares
Sea (A;∗) un semigrupo con neutro.
a∈A es regular a izquierda⇔a∗x=a∗y=x=y
a∈A es regular a derecha⇔x∗a=y∗a=x=y
El elemento a∈A es regular si es regular a izquierda y a derecha
Sea (A;∗) un semigrupo con neutro. El conjunto de inversibles de A es:
INV(A)={a∈A/a′∈A}
Sean (G1;∗1) y (G2;∗2) dos grupos con neutros e1 y e2 respectivamente:
El conjunto G1×G2 se define de la siguiente operacion ∗ tal que:
(a;b)∗(c;d)=(a∗1c;b∗2d)
(G1×G2;∗) es grupo y se denomina GRUPO PRODUCTO
- Si ∗1 y ∗2 son conmutativas entonces ∗ tambien es conmutativa
Sea (G;∗) un grupo y sea H=∅H⊆G
Si (H;∗) es grupo entonces H es subgrupo de G
Subgrupos espaciales
({e};∗) es subgrupo trivial de (G;∗)
(G;∗) es subgrupo impropio de (G;∗)
- el resto de subgrupos se denomina subfgupos propios
Teorema de condicion necesaria y suficiente de subgrupos
Sea (G;∗) un grupo. H es subgrupo de G si: H=∅, H⊆G, ∀a,b∈H⇒a∗b′∈H
Si (G;∗) es un grupo y H es un subconjunto finito no vacio, entonces H es subgrupo de G sii ∗ es cerrada en H
Generadores. Grupos Ciclicos
Sea (G;∗) un grupo y a∈G. Llamamos Subgrupo ciclico de G generado por a al siguiente conjunto: <a>={an/n∈Z}
Un grupo (G;∗) es ciclico ⇔∃a∈G tal que <a>=G
- Todo grupo ciclico es abeliano
- Todo subgrupo de un grupo ciclico es ciclico
Sea (G;∗) un grupo y a∈G
El orden de un elemento es el cardinal del subgrupo que genera.
El orden de un subgrupo es el orden de su generador, o bien el cardinal del subgrupo
Dado un grupo (G;∗) con neutro e, entonces el conjunto de todos los subgrupos puede ser ordenado por la inclusion.
Si G es finito, entonces: (subgrupos de G;⊆) es una Red con primer elemento, el subgrupo trivial, y ultimo elemento, el subgrupo impropio.
Propiedades de los grupos (Zn;+)
- Todos los grupos (Zn;+) son ciclicos.
- Sus generadores son: k/mcd(k,n)=1,1≤k≤n−1
- La cantidad de subgrupos de Zn es: ∣Dn∣
- Cada subgrupo tiene por cardinal a uno de los elementos de Dn
- La red de subgrupos es isomorfa a (Dn;∣)
Relaciones de Congruencia
Sea (G;∗) un semigrupo con neutro e
Sea ∼ una relacion de equivalencia en G.
∼ es compatible a izquierda con ∗⇔∀a,b,x∈G:a∼b⇒x∗a∼x∗b
∼ es compatible a derecha con ∗⇔∀a,b,x∈G:a∼b⇒a∗x∼b∗x
La relacion ∼ es compatible con ∗ (o es de congruencia) ⇔ es compatible a derecha y a izquierda.
Las relaciones de congruencia generalizan las propiedades de la congruencia modulo n y pueden recibir otros nombres como "compatible" respecto de la operacion de grupo o "estable"
∼ es compatible con ∗⇔∀a,b,c,d∈G:a∼b∧c∼d⇒a∗c∼b∗d
Teorema Fundamental de Compatiblidad
Sea (G;∗) un semigrupo con neutro e y ∼ una relacion de equivalencia compatible con ∗ Entonces el conjunto cociente (G/∼;∗ˉ) es un semigrupo con neutro, siendo la ∗ˉ la siguiente aˉ∗ˉbˉ=a∗b
Si (G;∗) es grupo entonces (G/∼;∗ˉ) tambien es grupo.
Si (G;∗) es abeliano entonces (G/∼;∗ˉ) tambien es abeliano.
El teorema garantiza que si la relacion de equivalencia es cmpatible, la estructura del conjunto cociente es la misma que la del conjunto original. O sea, se "traspasa" la estructura y las propiedades estructurales.
Congruencia Modulo un Subgrupo
Sea (G;∗) un grupo y H un subgrupo de G
Definimos la siguiente relacionen G:a≡db(H)⇔a∗b′∈H
se lee: a es congruente a derecha con b modulo H
Demostraciones
-
Reflexiva:
a∗a′=e∧e∈H⇒a≡da(H)
-
Simetrica:
a≡db(H)⇔a∗b′∈H⇔(a∗b′)′∈H⇔b∗a′∈H⇔b≡da(H)
-
Transitiva:
a≡b(H)∧b≡c(H)⇔a∗b′∈H∧b∗c′∈H⇔⇔(a∗b′)∗(b∗c′)∈H⇔a∗(b∗b′)∗c′∈H⇔⇔a∗e∗c′∈H⇔a∗c′∈H⇔a≡dc(H)
Por lo tanto es una relacion de equivalencia
Sea (G;∗) un grupo y H un subgrupo de G
Definimos la siguiente relacionen G:a≡ib(H)⇔a′∗b∈H
se lee: a es congruente a izquierda con b modulo H
Propiedades:
-
La congruencia modulo H, tanto a derecha como izquierda, es una relacion de equivalencia.
-
Si (G;∗) es un grupo abeliano, entonces la congruencia a derecha coincide con la congruencia a izquierda.
-
Es un caso particular de la congruencia modulo H, considerando H=nZ={x∈Z/x=nk,k∈Z}
a≡b(H)⇔a∗b′∈H⇔a+(−b)∈H⇔a−b=nk⇔n∣a−b⇔a≡b(n)
-
La clase de equivalencia de cualquier elemento de a de G es:
ad=H∗a en la relacion de congruencia a derecha
ai=a∗H en la relacion de congruencia a izquierda
-
∣H∣=∣H∗a∣=∣a∗H∣
-
La relacion de congruencia modulo H (tanto a derecha como a izquierda) por ser de equivalencia, produce una particion en el conjunto.
Indice de un subgrupo
Sea (G;∗) un grupo y H un subgrupo de G
El indice de G en G es la cantidad de clases de equivalencia modulo H.
Se indica [G:H]
Teorema de Lagrange
Sea (G;∗) un grupo de orden finito n y H un subgrupo de G
Entonces, el orden de G divide al orden de G
(orden es cantidad de elementos)
Subgrupo Normal
Sea (G;∗) un grupo con neutro e y H un subgrupo de G
H es un subgrupo normal ⇔ las clases a derecha coinciden con las clases a izquierda
Teorema: Grupo Cociente o Grupo Factor
Sea (G;∗) un grupo y H un subgrupo normal de G
- (G/H,∗ˉ) es grupo siendo aˉ∗ˉbˉ=a∗b
- El cardinal de G/H es [G:H]
- Este grupo se llama grupo cociente de G modulo H
Homomorfismos de Grupos
(G1;∗1) y (G2;∗2) dos grupos con neutros e1 y e2 respectivamente:
f:G1→G2 es homomorfismo⇔{f esfuncion∀a,b∈G1:f(a∗1b)=f(a)∗2f(b)
Propiedades de los Homomorfismos:
Sea f:(G1;∗1)→(G2;∗2) un homomorfismo de grupos
- f(e1)=e2
- ∀a∈G1:f(a′)=[f(a)]′
Clasificacion de Homomorfismo
Sea f:G1→G2 un homomorfismo de grupos:
- Si f es inyectiva, f se llama monomorfismo
- Si f es sibreyectiva, f se llama epimorfismo
- Si f es biyectiva, f se llama isomorfismo
- Si G1=G2, f se llama endomorfismo
- Si G1=G2 y f es biyectiva, f se llama automorfismo
Nucleo de un homomorfismo
Sea f:G1→G2 un homomorfismo de grupos.
Se define: Nu(f)={x∈G1/f(x)=e2}
Propiedades del Nucleo
Sea f:(G1;∗1)→(G1;∗1) un homomorfismo de grupos. Entonces:
(Nu(f);∗1) es subgrupo de (G1;∗1)
Sea f:(G1;∗1)→(G1;∗1) un homomorfismo de grupos. Entonces:
Nu(f)={e1}⇔f es inyectiva
Imagen de un homomorfismo
Sea f:(G1;∗1)→(G1;∗1) un homomorfismo de grupos.
Se define: Im(f)={y∈G2/∃x∈G1∧f(x)=y}
(Im(f);∗2) es subgrupo de (G2;∗2)
Preimagen o Imagen Reciproca
Sea f:G1→G2 un homomorfismo de grupos, B⊆G2
f−1(B)={x∈G1/f(x)∈B}